حرکتشناسی · شتاب ثابت
جسمی از یک نقطهٔ مشخص با شتابی میگذرد که اندازه و جهتش در کل مسیر ثابت میماند؛ همین شتاب باعث میشود جسم کمکم بایستد و بعد به عقب برگردد. حل کامل مسئله همراه با محاسبات پایتون و نمودارهای تعاملی.
جسمی از نقطهٔ مشخصی با شتابی که جهت و اندازهٔ آن ثابت است عبور میکند و در پایان ثانیهٔ پنجمِ حرکت، سرعت آن به ۱٫۵ متر بر ثانیه میرسد. در پایان ثانیهٔ ششم، جسم میایستد و سپس به طرف عقب برمیگردد.
شتاب حرکت جسم چقدر است؟ سرعت جسم هنگام گذشتن از نقطه چقدر بوده است؟ مسافتی را که جسم قبل از ایستادن طی کرده به دست آورید و نمودارهای شتاب، سرعت و مسافت را از لحظهٔ صفر تا پایان ثانیهٔ هشتم رسم کنید.
توجه: عدد «۱/۵» در متن سؤال به شکل رایج ممیز اعشاری فارسی نوشته شده و در این حل معادل ۱٫۵ متر بر ثانیه در نظر گرفته شده است.
چون شتاب در کل مسیر ثابت است، از دو سرعتِ معلوم در دو لحظهٔ متفاوت میتوان مستقیماً شتاب را با رابطهٔ a = Δv / Δt به دست آورد.
از رابطهٔ a = Δv / Δt (چون شتاب ثابت است):
a = (v6 − v5) / (t6 − t5)
a = (0 − 1.5) / (6 − 5)
a = -1.5 m/s²
# دادههای مسئله (شتاب ثابت در اندازه و جهت) v5, t5 = 1.5, 5 # سرعت در پایان ثانیهٔ پنجم v6, t6 = 0, 6 # جسم در پایان ثانیهٔ ششم میایستد # چون شتاب ثابت است: a = Δv / Δt a = (v6 - v5) / (t6 - t5) print(f"a = {a} m/s²")
⏳ در حال اجرا...
با گذاشتن لحظهٔ ایستادن (t6=6 که در آن v=0) در رابطهٔ v(t) = v0 + a·t، سرعت اولیهٔ v0 به دست میآید.
از رابطهٔ v(t) = v0 + a·t در لحظهٔ ایستادن (t6=6, v=0):
v0 = −a × t6
v0 = −(−1.5) × 6
v0 = 9 m/s
# v(t) = v0 + a·t و در لحظهٔ ایستادن v=0 v0 = -a * t6 print(f"v0 = {v0} m/s")
⏳ در حال اجرا...
از صفر تا ثانیهٔ ششم، جهت حرکت عوض نمیشود؛ پس مسافت طیشده همان مقدار مکان در رابطهٔ x(t) = v0·t + ½·a·t² در لحظهٔ توقف است.
از رابطهٔ x(t) = v0·t + ½·a·t²:
x(6) = 9×6 + ½×(-1.5)×6²
x(6) = 54 − 27 = 27
مسافت = x(6) − x(0) = 27 m
# رابطهٔ مکان نسبت به نقطهٔ شروع def x(t): return v0 * t + 0.5 * a * t**2 distance = x(t6) - x(0) print(f"مسافت = {distance} m")
⏳ در حال اجرا...
چون شتاب در کل بازه ثابت میماند، همان یک رابطه از لحظهٔ صفر تا پایان ثانیهٔ هشتم برقرار است؛ فقط سرعت و مکان تغییر میکنند. روی نمودارها نشانگر را حرکت دهید یا روی هر برچسبِ زمان بزنید.
a(t) = -1.5 m/s² (ثابت در کل بازه)
v(t) = 9 − 1.5t
x(t) = 9t − 0.75t²
این سه رابطه از t=0 تا t=8 رسم شدهاند.
import numpy as np t = np.linspace(0, 8, 400) a_t = np.full_like(t, a) v_t = v0 + a * t x_t = v0 * t + 0.5 * a * t**2 print(f"{len(t)} نقطه برای رسم نمودار محاسبه شد")
⏳ در حال اجرا...
| t (s) | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| a (m/s²) | -1.5 | -1.5 | -1.5 | -1.5 | -1.5 | -1.5 | -1.5 | -1.5 | -1.5 |
| v (m/s) | 9 | 7.5 | 6 | 4.5 | 3 | 1.5 | 0 | -1.5 | -3 |
| x (m) | 0 | 8.25 | 15 | 20.25 | 24 | 26.25 | 27 | 26.25 | 24 |
پس از ثانیهٔ ششم جسم به عقب برمیگردد، برای همین x دوباره کم میشود؛ اگر «مسافتِ کل طیشده» (بدون در نظر گرفتن جهت) را بخواهیم، در ثانیهٔ هشتم برابر ۲۷+۳ = ۳۰ متر است، نه ۲۴ متر.